개념에 대한 기본 설명은 문제집과 교과서를 참고하기 바란다.
이 포스팅은 개념의 이해를 돕기위해 부가적인 설명을 하기 위해 작성한다.
개념의 중요성에 대한 글을 한 번 읽어보자.
읽어보고 이해가 되었다면 이어서 수열의 수렴과 발산의 개념에 대해 학습해보도록 하자.
극한에 대해
수열은 정의역이 자연수인 함수임을 지난 학기에 배웠을 것이다. 그리고 일반항 An(편의상 대문자 사용)은 n에 대한 함수이다. 그리고 n은 정의역 대로 자연수이다.
An에서 n은 일반항 An의 n번째 값을 말한다.
그렇다면 극한에서도
이와같은 수식을 보면 이런 생각을 해야한다.
수열의 n번째 값을 나타내는 n에 관한 일반항 An이 있는데, 위 수식은 일반항 An의 식 안에서 n이 커지겠구나.
수렴
위와 같은 수열을 생각해보자 수열의 대한 개념대로 An을 구할 수 있을 것이다.
An은 이렇게 된다. 여기서 n이 한없이 커지면 어떻게 될까? 무한대가 된다.
무한대는 매우 큰 수이다.
단순히 큰 수가 아니다. 너무 커서 측정을 할 수가 없다. 이 세상에 존재하는 모든 실수 보다 크다. (허수와 크기를 비교할 수 없으므로)
따라서 분자에 있는 1은 무한대가 된 n에 비하면 0에 한없이 가까워지게 된다.
1이 아니라 10조,100경, 1000해 라는 천문학적인 숫자라도 무한대에 비하면 0에 한없이 가까운 수일 뿐이다.
말그대로 무한대이다.
여기서 무한대인 n에 비해서라는 사실이 중요하다. 무한대가 분모에 없었다면 1은 그냥 1이다.
결국 1은 보이지도 않게 되어서 무한대 분의 0에 가까운 수가 된다.
따라서 수열 {An}은 수렴하며 극한값은 0이다.
여기서 왜 값 대신 극한값 또는 극한 이라고 하는지 이해해야한다. 엄연히 다른 말이다.
값은 그냥 식이 가지는 값이고 극한값은 '매우 한없이 가까워서 차이가 보이지 않을 정도로 없어서 거의 같은 값'이라는 의미이다.
값과 극한값은 다르다고 말할 수 있다.
이는 기본 개념설명에서도 수렴에대해 설명할 때 그 값에 한없이 가까워지면 수열이 그값에 수렴한다고 한다. 즉, 그 값 자체는 아니라는 얘기이다.
이는 무조건적으로 이해하고 숙지해두어야할 사항이다.
무한대와 한없이 가까워진다는 말을 이해해야만 극한의 개념에 대해 이해했다고 할 수 있다.
발산
위의 두 식에 관해 생각해보자.
첫 번째의 n이 한없이 커지면 An도 한없이 커져서 무한대가 된다.
두 번째의 n이 한없이 커지면 An은 한없이 작아져서 마이너스 무한대가 된다.
첫 번째를 양의 무한대로 발산한다고 하고 두 번째는 음의 무한대로 발산한다고 한다.
An이 가까워지는 값이 없기 때문에 극한값도 없으며, 수렴이 아니라 발산한다고 한다.
아래와 같은 수열을 생각해보자
이 수열도 마찬가지로 극한 값이 없다. 따라서 발산이라고 한다.
하지만 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는다. 그래서 이런 수열들은 발산이면서 동시에 진동한다고 한다.
