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2017/12/24 - [미적분 1] 수열의 극한 - 수열의 수렴과 발산 개념설명
개념에 대한 기본 설명은 문제집과 교과서를 참고하기 바란다.
이 포스팅은 개념의 이해를 돕기위해 부가적인 설명을 하기 위해 작성한다.
개념의 중요성에 대한 글을 한 번 읽어보자.
읽어보고 이해가 되었다면 이어서 수열의 극한에 대한 기본성질의 개념에 대해 학습해보도록 하자.
수열의 극한 -> 기본 성질이란?
기본 성질이라고 했을 때 어떤 성질들을 가지는지 그 원리를 이해해야한다. 그래야만 헷갈리지 않고 다양한 문제 풀이에 적용이 가능하기 때문이다.
기본 성질은 수열의 극한에서 사칙연산을 할 때 나타나는 성질이라고 생각하면된다.
이 성질을 단순하게 암기하기만 하면 기본문제는 풀 수 있으나 응용문제에 활용하기에는 조금 무리가 있을 수 있다.
원리를 모르기 때문에 문제 풀이 과정 중 이럴 때 적용해도 되는지 헷갈릴 수 있고 실수가 발생하기 쉬워진다.
따라서 기본 성질에 대해서도 확실하게 이해하고 넘어가야한다.
조건
기본 성질을 적용하기 위해선 필수적인 조건이있다. 간과하고 넘어가면 안되는 부분이다.
바로 위와 같은 조건이 필요 한데 이유는 아래에서 사칙연산 할 때의 경우를 살펴보자.
덧셈과 뺄셈
위와 같은 성질이 덧셈과 뺄셈에서 적용된다는 것을 기본 개념에 의거하여 완벽히 이해해야한다.
어떻게 위의 식이 성립하는걸까?
이전 글에서 설명한 극한의 원리를 생각해보자.
이와같은 수식을 보면 이런 생각을 해야한다.
수열의 n번째 값을 나타내는 n에 관한 일반항 An이 있는데, 위 수식은 일반항 An의 식 안에서 n이 커지겠구나.
이 기본적인 원리를 바탕으로 1번식 부터 차례대로 살펴보자.
An(편의상 대문자로 표기)은 n에 대한 식이다. An안에서 n이 한없이 커질 때 극한값 a(알파)를 갖는다.
이는 Bn 또한 마찬가지이다.
그럼 수열 An+Bn은 어떨까? 마찬가지로 n에 관한 식이다. An은 n이 한없이 커질 때 극한값 a(알파)를 갖고 Bn은 b(베타)를 갖는다.
따라서 1번식은 a(알파)+b(베타)의 값을 갖게되는 것이다.
만약 둘중 하나의 수열이라도 수렴하지 않는다면(발산한다면) 식은 성립하지 않는다.
무한대 + 베타 가 되거나 알파 + 무한대 가 되면 그냥 무한대 이기 때문이다. 따라서 전체 식 또한 발산하게 된다.
이게 위에서 필수적인 조건이 등장한 이유이다.
An에서 n이 한없이 커지면 극한값 a(알파)를 갖고 Bn은 b(베타)를 갖는다. 당연히 결과는 a(알파)+b(베타) 이다.
따라서 1,2,3 의 값은
곱셈
곱셈 또한 다르지 않다.
이번엔 상수를 곱하는 상황인데, 역시 극한의 원리를 바탕으로 살펴보자.
An은 n에관한 식이며 n이 한없이 커질 때 극한값 a(알파)를 갖는다.
c는 n의 값에 상관 없이 c이다.
n이 몇이던간에 c는 c이므로 극한값은 c곱하기 a(알파)가 된다.
2번식은 당연하게도 c곱하기 a(알파)가 된다.
따라서 1,2,3번 식의 값은
이는 상수를 나누더라도 마찬가지 이다. 나눗셈은 역수를 취해 곱셈으로 바꿀 수 있으니 곱셈의 성질과 동일하다고 볼 수 있다.
위의 내용을 살펴본뒤 아래 식은 성립하는지 하지 않는지 생각해보자. 답은 맨 아래에서 알려주겠다.
나눗셈
나숫셈은 어떤지 생각해보자.
각각 n의 관한 식이며 n이 무한이 커질때 알파와 베타를 갖는다.
당연히 3번식처럼 되겠다.
이것 또한 마찬가지이므로 생략하도록하겠다.
따라서 1,2,3번식은 모두
요약
조건 : 계산되는 수열들이 수렴할때만 기본 성질이 성립한다.
수열의 극한에 대한 기본 성질(사칙연산) : n이 한없이 커질 때 식이 어떻게 될지 생각해보자.
문제를 풀 때도 항상 위 처럼 기본 개념의 원리를 생각하자. 처음엔 풀이 속도가 조금 느릴 수 있어도 응용력을 확실하게 길러줄 것이다.
정답
당연히 위에서 생각해보라고 했던 식도 성립한다.
n이 무한이 커질 때 극한값을 가지므로 전체 식에 극한을 취하던 따로 극한을 취하던 극한값은 같기 때문이다.
