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2018/01/02 - [미적분 1] 급수 - 급수의 수렴과 발산 개념설명
2018/01/02 - [미적분 1] 급수 - 급수와 수열의 극한 사이의 관계 개념설명
개념에 대한 기본 설명은 문제집과 교과서를 참고하기 바란다.
이 포스팅은 개념의 이해를 돕기위해 부가적인 설명을 하기 위해 작성한다.
개념의 중요성에 대한 글을 한 번 읽어보자.
읽어보고 이해가 되었다면 이어서 등비급수의 개념에 대해 학습해보도록 하자.
등비급수란?
개념 또한 비슷하다.
첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열로 만들어진 급수이므로
첫째항이 a, 공비가 r인 등비급수라고 한다.
등비급수의 수렴과 발산
여기서 공비에 따라 등비급수의 수렴과 발산이 결정된다.
하지만 공비가 어떨 때는 수렴하고 어떨때는 발산하고, 이것을 외우는게 중요한게 아니다.
그냥 외우면 헷갈리거나 잊게되기 십상이다. 필자가 한없이 강조하는 개념의 중요성을 생각해보자
참고할 수 있는 이전 포스팅은 두 개이다.
2017/12/31 - [미적분 1] 수열의 극한 - 등비수열의 극한 개념설명
2018/01/02 - [미적분 1] 급수 - 급수와 수열의 극한 사이의 관계 개념설명
위 두 포스팅 중에서 위 포스팅으로 공비가 어떨 때에 등비수열이 수렴하는지 이해할 수 있다.
위 두 포스팅 중에서 아래 포스팅으로 수열이 어떨때에 급수가 수렴하는지 이해할 수 있다.
아래의 내용을 읽고 조금이라도 이해가 안가는 부분이 있으면 위 포스팅을 참고하라.
정리하자면 등비수열이 수렴하면 등비급수는 수렴한다.
공비의 분모가 분자보다 클 때, 즉 -1<r<1 일때 등비수열은 0에 수렴하고 등비급수 또한 수렴하게 된다.
공비의 분자가 분모보다 클 때, 즉 r>1 or r<-1 일 때 등비수열은 발산(진동도 포함)하고 등비급수 또한 발산한다.
수열의 합(부분합)에 극한을 취하면 급수가 된다는 원리는 지난 포스팅에서 설명했다.
2018/01/02 - [미적분 1] 급수 - 급수의 수렴과 발산 개념설명
등비수열의 합의 공식은 이러하다.
여기서 -1<r<1 일 때 r^n이 0에 수렴하여 급수의 합은
이렇게 된다.
r>1 or r<-1 일 때는 등비수열의 합이 발산한다.
r=1 일 때는
수열이 a,a,a,a,a,a,a..... 이렇게 되므로 등비 수열은 a에 수렴한다. -> 등비급수는 발산한다.
r=-1일 때는
이므로
a,0,a,0,a,0... -> 등비수열은 발산한다(진동한다) -> 등비급수는 발산한다.
계속해서 강조하지만 개념을 이해하고 적용하는게 최우선 사항이다.
개념을 이해하면 외우고 암기하는 수고를 덜 수 있다.
부디 개념을 확실히 이해하기 바란다.
