개념에 대한 기본 설명은 문제집과 교과서를 참고하기 바란다.
이 포스팅은 개념의 이해를 돕기위해 부가적인 설명을 하기 위해 작성한다.
개념의 중요성에 대한 글을 한 번 읽어보자.
읽어보고 이해가 되었다면 이어서 함수의 극한의 개념에 대해 학습해보도록 하자.
함수의 극한과 수열의 극한의 차이
지난 학기 수열에 대해서 배웠을 것이다.
수열의 개념은 정의역이 자연수이고 치역이 실수 전체인 함수이다.
수열의 극한 또한 함수의 극한의 일부분이라고 볼 수 있는 것이다.
함수의 극한에서는 정의역이 실 수 일때를 다룬다.
정의역이 다른 것이 만드는 차이를 알아보자.
위에서 An과 f(x)는 모두 함수이다. 여기서 An은 정의역이 자연수인 함수, 즉 수열이다.
둘다 정의역의 크기가 한없이 커짐을 나타내고 있다.
여기서 An의 정의역 n이 한없이 커진다면
1,2,3,.......9999.... 이렇게 커질 것이다.
하지만 f(x)는 x가 커지는 과정을 나타낼 수 없다.
왜냐하면 x의 값, 즉 정의역은 실수 전체이기 때문이다.
위의 식에서 An은 n이 5에 한없이 가깝다는 표현은 무의미하다.
n은 자연수 이기 때문이다. 따라서 수열의 극한에서는 n이 한없이 커지는 경우만 다뤘다.
f(x)는 x가 5가 아니면서도 5에 한없이 가까울 수 있다.
4.99999999999999999.... 일 수도 있고. 5.00000000000000....01 일 수도 있지만 표현할 수 없을 정도로 가까운 것이 맞다.
그것이 한없이 가깝다는 의미이다.
따라서 x가 a가 아니면서도 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 L에 한없이 가까워지면
x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)는 L에 수렴한다고 한다.
처럼 쓸 수 있다.
f(a)와 같을 수도 있고, 다를 수도 있다.
아래의 그래프를 보자
f(x)의 그래프가 위와같을 때 f(2)의 값은 3이 아니라 0이다.
하지만 극한값은 어떨까?
x가 2가 아니면서도 2에 한없이 가까워지면 f(x)는 3에 한없이 가까워진다.
여기서 의문이 생길 수 있다. 1.999999999999..에서 가까워지는건지 아니면 2.00000000000001에서 가까워지는건지 말이다.
수열의 극한에서는 자연수 n이 한없이 커질 수 밖에 없었으므로 생각할 필요가 없던 부분이었다.
이에 관해서는 다음 포스팅에서 설명하도록 하겠다.
요약
정의역만 다를 뿐이며 역시 무한대의 개념이 중요하다.
