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2018/01/08 - [미적분 1] 함수의 극한 - 함수의 극한 개념설명
2018/01/08 - [미적분 1] 함수의 극한 - 우극한과 좌극한 개념설명
개념에 대한 기본 설명은 문제집과 교과서를 참고하기 바란다.
이 포스팅은 개념의 이해를 돕기위해 부가적인 설명을 하기 위해 작성한다.
개념의 중요성에 대한 글을 한 번 읽어보자.
읽어보고 이해가 되었다면 이어서 함수의 극한에 대한 성질의 개념에 대해 학습해보도록 하자.
함수의 극한의 사칙연산
이전 포스팅 중 수열의 극한에서 사칙연산을 할 때 나타나는 성질에 대해 포스팅 한 바 있다.
2017/12/26 - [미적분 1] 수열의 극한 - 수열의 극한에 대한 기본 성질 개념설명
함수의 극한에서 또한 사칙연산을 할 때 수열의 극한에서의 성질과 동일한 성질을 지닌다.
동일한 성질이므로 요약해서 설명하겠다.
x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x), g(x)는 각각 L,M에 수렴한다고 가정하자.
위의 극한값은 L값을 갖는다.
극한의 기본적인 원리에 의거하면 x가 한없이 a가 가까워진다는 lim기호만 있다면 f(x)는 무조건 극한값 L을 갖는다.
다른 계산 이 먼저 이루어지건 나중에 이루어지건 상관이 없다.
예를 들어보자.
f(x)와 g(x)는 x가 a에 한없이 가까워질 때 L,M 값을 갖는 다는 점만 기억하자.
극한값의 계산
계산 또한 수열의 극한값의 계산과 비슷한 성질을 지닌다.
수열의 극한값의 계산
무한대분의 무한대 꼴 : 수열 An에서 n이 무한히 커질 때 최고차항 이외에는 전부 무시하면된다.->최고차항 이외의 항들은 0에 한없이 가까운 수로 취급한다.
무한대-무한대 꼴 : 루트끼리는 뺄셈을 할 수 없기 때문에 유리화하여 뺄셈을 없애준다.
x가 a에 한없이 가까워 질 때, 혹은 한없이 커지거나 작아질 때 계산되는 식이 어떠한 꼴에 가까워지는가를 구별하여 학습해야한다.
주의할 점은 역시 '~꼴이니까 어떻게 해야지'라고 단순하게 암기해서는 절대로 안된다.
물론 이렇게 생각하고 문제를 해결해야한다.
그전에 왜 그렇게 되는지를 알면 암기할 필요도 없다.
함수의 극한값을 계산할 때 어떤 꼴에 가까워지는지 다음 설명을 보고 이해해보자.
분모와 분자가 모두 0으로 수렴하는 꼴이다.
어떻게 0/0 꼴이 될 수 있는지 의문을 가질 수 있지만 어떤 식이던 간에 이런 꼴로 만들 수 있다.
당연히 위의 극한값은 a+5이다. 하지만 식의 분모,분자에 x-a 를 곱해줌으로써 0/0꼴을 만들어주었다.
그래도 극한값은 a+5임이 당연하다.
가장 오른쪽의 형태로 문제가 출제된다면 섣불리 분모가 0에 가까워진다고 생각하여 발산한다고 정해버리면 안된다.
수열의 극한값의 계산과 같이 분모의 최고차항으로 분모, 분자를 각각 나누어주면 된다.
이전 포스팅에서 설명했듯이 나는 최고차항의 계수를 비교하기를 추천한다.
2017/12/27 - [미적분 1] 수열의 극한 - 수열의 극한값의 계산 개념설명
다항식이라면 최고차항으로 묶어야하고, 무리식이라면 유리화 해야한다.
구체적인 설명은 이전 포스팅을 참고하도록 하자.
다시 한 번 링크를 첨부한다.
2017/12/27 - [미적분 1] 수열의 극한 - 수열의 극한값의 계산 개념설명
통분하거나 유리화하여 위의 (1),(2)와 같은 꼴로 변형해야한다.
예를 하나 들어보자.
무한대x0 꼴에서 통분을 하여 단순히 1에 수렴하는 꼴로 변형하였다.
미정계수의 결정
위와 같은 조건이 있을 때 f(x)가 0으로 수렴한다면 어떨까?
그럼 식의 극한값이 0으로 수렴한다고 생각할 수 있지만 조건에서는 L에 수렴한다.
즉 f(x)와 g(x)이 (x-a)을 인수로 가져서 0/0 꼴이 되어야 조건을 만족할 수 있다.
문제가 위와 같이 출제되었다면 a는 7 b는 -7 이어야 분자가 (x-1) 을 인수로 가져서 약분이 되어 식이 극한값을 가질 수 있다.
함수의 극한의 대소관계
위에서도 했던 가정이다. 필수조건이라고 볼 수 있다.
수열에서의 성질과 동일하다.
2017/12/28 - [미적분 1] 수열의 극한 - 수열의 극한값의 대소 관계 개념설명
위의 포스팅을 참고하고 아래의 식을 확인하자.
수열과 비교하여 위의 식이 성립함을 이해해보자.
이전까지와 마찬가지로 한없이 가까워진다는 것의 의미만 제대로 이해한다면 어렵지 않다.
요약
한없이 가까워진다는 것의 의미를 잊지말고 계속해서 생각해야한다.
함수의 극한에 대한 성질은 수열의 극한의 성질을 잘 이해했다면 어렵지 않다.
각각의 성질들이 왜 그러한 성질을 가지는지 꼭 이해해야한다.
