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개념에 대한 기본 설명은 문제집과 교과서를 참고하기 바란다.
이 포스팅은 개념의 이해를 돕기위해 부가적인 설명을 하기 위해 작성한다.
개념의 중요성에 대한 글을 한 번 읽어보자.
읽어보고 이해가 되었다면 이어서 급수의 수렴과 발산의 개념에 대해 학습해보도록 하자.
급수란?
급수의 정확한 개념을 설명하겠다.
수열 An이 있다. 수열 An을 떠올리면 a1, a2, a3, ~ an 이렇게 n번째 까지 어떤 수가 나열되어 있는 것을 이미지처럼 떠올려 보길 매우 권한다.
떠올렸다면 이제 급수를 생각해보자. 간단하다. n이 한없이 커질 때 이것을 모두 더 하는 것이다. 그것을 급수라고 한다.
급수의 기본적인 표기는 이렇게 한다.
시그마의 기본 원리를 생각해보자. n=1일때의 일반항(수열의 첫 번째 항) 부터 n이 한없이 커질때까지 모든 항들을 더하라는 뜻이다.
부분합이란?
급수와 부분합을 잘 구분해야한다. 어렵지않다.
말 그대로 급수는 모두 더한 것, 부분합은 부분을 더한 것 이다.
대표적으로 수열의 합에서 배운 Sn을 부분합이라고 할 수 있다.
1부터 어떤 자연수 n까지 더한것을 Sn이라 한다. 따라서 부분의 합이므로 부분합이다.
이렇게 표기할 수 있다. -> k=1일때의 일반항(수열의 첫 번째 항) 부터 k=n일 때의 일반항까지 모든 항들을 더하라는 뜻이다.
그럼 여기에 극한을 취하면 어떻게 될까? n이 한없이 커진다면 말이다.
[ Tip. 시그마에서 k와 n을 헷갈리면 안된다. 개념대로 생각해보면 항이 몇 번째인지 나타내는 변수가 k든 a든 b든 상관이 없다. 개념대로만 생각하자. ]
바로 급수가 된다. 즉, 부분합에 극한을 취하면 급수가된다는 말이다.
이런 문장으로 외우지말고 부분합에서 n이 한없이 커지면 당연히 급수가 된다는 사실을 꼭 생각하라.
급수의 합
급수의 합은 단순히 이러한 급수의 값을 말한다. 급수는 기본적으로 극한의 개념이 포함되어있다.
급수의 합은 부분합의 극한값이라고 볼 수 있다.
부분합의Sn 극한값 = 급수의 합 인 것이다.
이때 급수의 합은 S이며 급수가 S에 수렴한다고 말한다.
급수의 발산
수열 An의 극한값이 없으면 발산이라고 한다.
위에서는 부분합 Sn의 극한값이 없다면? Sn은 발산하고 이에따라 급수도 발산한다고한다.
요약
기호, 문자 하나하나가 무엇을 의미하고 어떤 원리인지 꼭 파악해서 이해하고 숙지하라.
특히 급수의 수렴,발산, 또 급수와 부분합과의 관계는 눈감고도 설명할 수 있을 정도로 익혀두길 바란다.
