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개념에 대한 기본 설명은 문제집과 교과서를 참고하기 바란다.
이 포스팅은 개념의 이해를 돕기위해 부가적인 설명을 하기 위해 작성한다.
개념의 중요성에 대한 글을 한 번 읽어보자.
읽어보고 이해가 되었다면 이어서 등비수열의 극한의 개념에 대해 학습해보도록 하자.
들어가기 전에
이는 단순히 무한대로 한없이 커지는 n이 지수에 있을 뿐이다!
등비수열의 다른 개념과 혼동할 필요가 없다.
이런 꼴이 나온다면 'r이 공비니까...' 이런 생각은 일단 접어둬도 좋다.
단순히 r의 범위에 따라 극한값이 정해질 뿐이다.
위와 같은 경우도 전혀! 다를게 없다.
어차피 r의 n승 꼴이다.
결국 첫번째 식은 r제곱의 범위로만, 두번째 식은 r세제곱의 범위로만 극한값이 결정된다.
여기서 r의 범위가 기본 개념에서 제시되어있다고 해도 거기서 말하는 r이란 r의 n승 꼴일 때의 얘기다.
즉, 첫번째 식에선 r제곱이 r의 역할을 두번째 식에선 r세제곱이 r의 역할을 한다는 것이다.
교과서에서의 경우를 따라 살펴보자
교과서에서의 r의 범위
위와 같은 성질이 있다.
여기에 r의 범위만 나와있다고 해서
이런 식을 헷갈리면 안된다. 위에서의 설명처럼 r의 n제곱 꼴로 바꿔준 뒤에 어떤것이 r의 역할을 하는지 찾아야한다는 것이다.
정리
(1) r이 1보다 클 때, 분자가 더 크므로 n이 한없이 커질 때 분자가 분모보다 한없이 커지게 된다. -> 양의 무한대로 발산
(2) r이 1일 때, n의 관계없이 값이 1이므로 1에 수렴한다. -> 1에 수렴
(3) -1<r<1 일 때, 분모가 더 크므로 n이 한없이 커질 때 분모가 분자보다 한없이 커지게 된다. -> 0에 수렴
(4) r이 -1보다 작거나 같을 때, -부호를 제외하고 분자가 더 크므로 절대값은 분자가 분모보다 한없이 커지게된다. 절댓값은 한없이 커지게 되지만 -부호 때문에 + - 가 반복되므로 진동한다.
(1) r^4이 1보다 클 때, 분자가 더 크므로 n이 한없이 커질 때 분자가 분모보다 한없이 커지게 된다. -> 양의 무한대로 발산
(2) r^4이 1일 때, n의 관계없이 값이 1이므로 r에 수렴한다. -> 1에 수렴
(r은 상수이므로)
(3) r^4<1 일 때, 분모가 더 크므로 n이 한없이 커질 때 분모가 분자보다 한없이 커지게 된다. -> 0에 수렴
(r은 실수이므로 -1<r^4<1이 될 수 없다. r^4>0 이기 때문에)
(4) r^4이 -1보다 작거나 같을 때, 이런 경우는 성립할 수 없다. r^4>0 이기 때문에
이제 r의 범위를 구하는 것이 달라진다.
(1) r^4이 1보다 클 때 = r이 1보다 클 때
분자가 더 크므로 n이 한없이 커질 때 분자가 분모보다 한없이 커지게 된다. -> 양의 무한대로 발산
(2) r^4이 1일 때 = r이 1 이거나 r이 -1 일 때
n의 관계없이 값이 1이므로 r에 수렴한다. -> 1에 수렴
(r은 상수이므로)
(3) r^4<1 일 때 = -1<r<1 일때
분모가 더 크므로 n이 한없이 커질 때 분모가 분자보다 한없이 커지게 된다. -> 0에 수렴
(r은 실수이므로 -1<r^4<1이 될 수 없다. r^4>0 이기 때문에)
(4) r^4이 -1보다 작거나 같을 때, 이런 경우는 성립할 수 없다. r^4>0 이기 때문에
요약
따라서 r의 역할을 하는 n의 밑을 파악하는 것이 가장 중요하다고 할 수 있다.
