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2017/12/24 - [미적분 1] 수열의 극한 - 수열의 수렴과 발산 개념설명
2017/12/26 - [미적분 1] 수열의 극한 - 수열의 극한에 대한 기본 성질 개념설명
개념에 대한 기본 설명은 문제집과 교과서를 참고하기 바란다.
이 포스팅은 개념의 이해를 돕기위해 부가적인 설명을 하기 위해 작성한다.
개념의 중요성에 대한 글을 한 번 읽어보자.
읽어보고 이해가 되었다면 이어서 수열의 극한값의 계산의 개념에 대해 학습해보도록 하자.
무한대
이전 글에서 설명했지만 역시 무한대에 대해서 완벽히 이해해야 극한의 개념을 이해할 수 있다.
무한대의 개념은 [어떠한 실수나 자연수보다 큰 수. 또는 무한히 커져 가는 상태 등을 나타내는 대수학용어]이다.
극한값의 계산 중 대표적인 두가지 형태를 살펴보자.
(1)의 교과서, 문제집에서의 해결법
위 처럼 문제를 해결하는 방법을 이용하면 문제를 빨리 해결할 수 있다는 장점이 있다. 하지만 교과서나 문제집에서는 위와같은 방법을 사용하지 않는다.
교과서나 문제집에서 어떤 해결법을 제시하는지 알아보자
분모의 최고차항으로 분모 ,분자를 각각 나눈다.
맨 처음의 예제에서 분자 분모를 n으로 나누면 위처럼된다. 결국 +실수 였던 항은 무한대 분의 실수 꼴이 되므로 0이된다.
따라서 결국 최고차항의 계수만 남는다.
나는 이러한 해결법을 기계적으로 외우기보다 개념에 의거하여 빠르게 풀 수 있는 아래의 방법을 더 추천한다.
(1)의 추천 해결법
자주 등장하는 몇가지 경우를 나타내어 보겠다.
실제 예제를 살펴보자
여기서 n은 한없이 커진다. 즉, n은 무한대 인 것이다. (무한대 + 실수) 또한 무한대이다.
왜냐? 무한대입장에서 실수는 먼지만큼의 크기도 아니다. 1조, 10경 어떤 수도 무한대의 입장에서는 크기를 가진 수가 될 수 없다.
따따라서 위의 식의 값은 그냥 무한대 분의 무한대. 즉, 극한값은 1이다.
비슷한 예제를 살펴보자
이것 또한 무한대 분의 무한대 꼴이다.
일단 +실수 부분은 무시해야한다.
그렇게되면 분자는 분모가 아무리 큰수라 하더라도 무조건 분모의 10배이다. 따라서 약분이 가능하기 때문에 극한값은 10이다.
비슷하지만 또 다른 예제를 한번 살펴보자
위의 식 역시 무한대 분의 무한대 꼴이다.
그럼 이것 역시 1일까?
개념에 의거하여 생각해보자. n이 무한히 커지는 상태이다.
그렇다면? n의 제곱은 어떨까? 무한히 큰수의 제곱의 입장에서는 원래의 무한히 큰수또한 먼지만큼의 크기도 아니다.
따라서 위의 식은 0(0에 한없이 가까운 수)분의 무한대로 볼 수 있다. 따라서 양의 무한대로 발산한다.
한 가지 경우를 더 확인해보자
그럼 이건 어떨까? 루트안에 있으면 달라질까? 역시 개념에 의거하자.
루트 안에서 n제곱에게 9999는 크기를 가진 숫자가 아니다. 따라서 9999는 무시해주자.
그렇다면 루트 n제곱은 n이되어 극한값은 1이된다.
(1)의 결론
무한대분의 무한대 꼴이고 수열 An에서 n이 무한히 커질 때 최고차항 이외에는 전부 무시하면된다.->최고차항 이외의 항들은 0에 한없이 가까운 수로 취급한다.
개념에 의거하면 전혀 어려울 게 없다.
우선 무한대에서 무한대를 빼면 0일까? 당연히 맞을 수도 있고 아닐 수도 있다.
무한대+실수에서 당연히 실수는 크기를 가질 수 있다고 볼 수 없지만 거기서 무한대를 뺀다면 ?
당연히 그 극한값은 그 실수가 된다.
그래서 (2)번 같은 꼴일 때는 한없이 작은 실수를 무시할 수 없다.
예를 들어보자.
이것도 (2)번의 꼴이라 할 수 있다. 하지만 극한을 떠나서 값이 바로 7이란 것을 알 수있다.
무한대에서 무한대를 뺐더니 극한값을 가지며 수렴함을 알 수 있다.
물론 최고차항이 다르다면 최고차항이 없는 쪽을 그냥 무시하면된다.
이렇게 쉽게 계산이 되는데 왜 굳이 유형을 나누었을까?
바로 루트때문이다.
바로 위의 식에서 루트가 껴있는 상황을 예로들어보자
이런 경우에는 빼기를 할 수가 없다. 둘의 최고차항이 같기 때문에 수렴할 수도 있다.
따라서 +7n과 +1은 무시할 수가 없다.
(Tip. 만약 위의 식에서 -가 아니라 +였다면 +7n과 +1을을 무시해도된다. n이 한 없이 커지는 상황을 생각해보면 이유를 알 수 있을 것이다.)
이럴 때는 바로 유리화를 하면된다.
분자 분모에
을 곱해준다.
그럼 위처럼 (2)번의 꼴이 없어진다. 따라서 분모의 +7n 과 +1은 무시할 수 있고 답은 2분의 7이된다.
(2)의 결론
무한대-무한대 꼴일 때 루트끼리는 뺄셈을 할 수 없기 때문에 유리화하여 뺄셈을 없애준다.
요약
무한대분의 무한대 꼴 : 수열 An에서 n이 무한히 커질 때 최고차항 이외에는 전부 무시하면된다.->최고차항 이외의 항들은 0에 한없이 가까운 수로 취급한다.
무한대-무한대 꼴 : 루트끼리는 뺄셈을 할 수 없기 때문에 유리화하여 뺄셈을 없애준다.
단순히 '이럴땐 최고차항으로 나누고 이럴땐 유리화해야지~' 생각하면서 문제를 풀면 절대 난이도 있는 응용문제를 풀 수 없다.
꼭 위에서 설명한 개념과 원리를 생각하면서 문제를 풀도록 노력하자.
